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选自quantamagazine裸舞 推特
作家：Joseph Howlett
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又是缠绵机帮了忙。
对当代密码学稍有了解的东说念主都必定听过椭圆弧线的赫赫气势，但椭圆弧线本人依然还存在许多悬而未决的问题。今天，量子杂志作家 Joseph Howlett 先容了这方面的一项随心 18 年记录的新突破：找到了一条迄今为止有理点模式最复杂的椭圆弧线。
通告发现这条突破性弧线的邮件截图
本年 8 月，两位数学家发现了一条随心记录的潦草弧线。在此流程中，他们触及了一个仍待处置的首要清贫 —— 其波及到数学规模一类最迂腐、最基础的方程。
椭圆弧线至少不错追猜度古希腊，是许多参谋规模的中枢。它们具有丰富的底层结构，数学家们用它诞生了许多坚硬的时刻和表面。在 1994 年 Andrew Wiles 闻名的费马大定理（是其时数论规模最垂危的未解问题之一）解说中，椭圆弧线就证实了垂危作用。椭圆弧线对当代密码学也至关垂危。
即便如斯，关于椭圆弧线的某些最基本的问题，数学家们仍在寻找谜底。举个例子，他们常通过参谋椭圆弧线上的特殊「有理点（rational point）」来形容其特征。在一条给定的弧线上，这些点会变成明白且挑升旨的模式。但咱们当前尚不明白这些模式的种种性和复杂进程是否有极限。
通过解答这个问题，可让数学家们贯通数目遍及且种类繁密的椭圆弧线宇宙 —— 这个宇宙中的许多弧线都仍未得到探索。因此，数学家们启动探索这个宇宙的外围，寻找模式越来越奇怪的非常弧线。这个流程很粗重，况且既需要创造力，也需要复杂的缠绵阴私领。
现在，哈佛大学的 Noam Elkies 和加利福尼亚州拉霍亚通讯参谋中心的 Zev Klagsbrun 这两位数学家发现了一条于今为止有理点模式最复杂的椭圆弧线，随心了 18 年前的记录。
「这个壅塞能否随心是一个首要问题。」克罗地亚萨格勒布大学的 Andrej Dujella 说，「关于咱们通盘参谋和眷注椭圆弧线的东说念主来说，这是一个相配令东说念主振作的成果。」
寻找有感性
椭圆弧线的面容为 y² = x³ + Ax + B，其中， A 和 B 是有理数，它们看起来是这么的：
在椭圆弧线的参谋中，数学家们绝顶眷注其有贯通 —— 即弧线上 x 值和 y 值都是有理数的点。俄亥俄州立大学的 Jennifer Park 默示：这履行上是东说念主类数学历史上最迂腐的问题之一。
固然找到通俗类型方程的有贯通相对径直，但椭圆弧线是真确存在许多未解问题的第一类方程，布朗大学的 Joseph Silverman 说说念。「这只是是一个三次方程的两个变量，就还是迷漫复杂了。」
为了掌捏椭圆弧线的有贯通，数学家们频频依赖于弧线的秩，这是一个估量弧线上有理点密集进程的数字。秩为 0 的椭圆弧线惟有有限数目的有理点。秩为 1 的椭圆弧线领有无穷多的有理点，但通盘这些点都按照一种通俗的模式罗列，这意味着淌若你知说念其中一个点，就不错恪守一个大众皆知的要领来找到其余的点。
高秩的椭圆弧线相同领有无穷多的有理点，但这些点之间的相关愈加复杂。举例，淌若你知说念一个秩为 2 的椭圆弧线的有贯通，你不错使用在秩为 1 情况下调换的要领来找到一通盘家眷的有理点。但是，这条弧线还有第二个家眷的有理点。这意味着这些有理点散播在弧线上以更复杂的方法，变成多个线性零丁的族群。
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椭圆弧线的秩告诉数学家们需要若干个零丁的点，即来自不同家眷的点 —— 以界说其有贯通的鸠合。秩越高，弧线上的有理点就越丰富。秩为 2 和秩为 3 的弧线都有无穷多的有贯通，但秩为 3 的弧线包含来自罕见家眷的有理点，这意味着在平均情况下，一定长度的弧线将包含更多这么的点。
简直通盘的椭圆弧线都已知是秩为 0 或秩为 1。但仍然有无穷多的非常情况具有更高的秩 —— 况且这些弧线极其难以找到。
因此，数学家们不深信秩是否有扫尾。在极度长的一段时间里，大多数众人合计表面上不错构造任何秩的弧线。最近的凭证标明情况并非如斯。由于莫得可信的解说，数学家们只可就椭圆弧线确凿切骨子进行申辩，这正证明了这些方程还有许多未知之处。
更大的一盘棋
Elkies，一位了得的数论学家。在 2000 年代中期，他正在专注于看似无关的参谋，称为 K3 曲面。为了贯通它们，Elkies 将它们切割并不雅察各个部分。
假想一启动有一个通俗的名义，一个平面。你不错将其切割成无穷多的直线，这些直线并列摈弃。根据你切割的方法，最终得到的线条将由不同的方程界说。
相同地，有更复杂的、弧线的名义，当切割时，会产生无穷多的椭圆弧线。自 1950 年代以来，数学家们一直在使用这些名义来找寻高秩椭圆弧线。
Noam Elkies
Elkies 领会到 K3 曲面迷漫奇特，不错让他宣战到更奇特的弧线。2006 年，他以正确的方法对一个特定的 K3 曲面进行了切片，并在切片中发现了一条椭圆弧线，他不错解说该弧线的秩至少为 28，随心了之前 24 的记录。这对椭圆弧线众人来说是一个粗野东说念主心的时刻，他们信托接下来可能会出现一大都随心记载的东说念主。
关联词，之后并无大的突破。Elkies 的记录保持了快要二十年 —— 这与自 1970 年代以来数学家们相对巩固的刷新记录的速率变成了赫然的背离。
这粗略是一种迹象，标明秩毕竟可能是有限的，或者，这只是响应了这一参谋如实很难？
在 2006 年 Elkies 公布他的发现之际，Zev Klagsbrun 正就读于纽约皇后学院本科。他的一位教师，曾在 80 年代和 Elkies 比过团结场高中数学竞赛。在办公时间，Zev 被奉告了这个破记载的弧线的新音尘。
这是 Zev 初度对寻找有理点产生敬爱。
Zev Klagsbrun
Zev 对此很感敬爱。多年后，他从头注释了 Elkies 的成果，解说了一个臆度是正确的 ——Elkies 的弧线的秩恰恰是 28。
因此，当 Zev 在 2019 年的一个会议上遭受 Elkies 时，他劝服了 Elkies 从头启动寻找新的弧线。
「我其时说，嘿，我闲散写代码，和我一都持续破解椭圆弧线的机密吧！」Zev 说。
在 Elkies 愉快之后，他们从头注释了十八年前 Elkies 参谋过的 K3 曲面。其时，Elkies 通过切片，得到了论断：这些弧线的秩至少为 17，但他的有计划是超过 24 的记录。
由于无法径直缠绵每一条弧线的秩，Elkies 筛选出在数百万条弧线中最可能具有非常高秩的候选，再手动缠绵这些弧线的秩，直到最终找到了那条秩为 28 的弧线。
Klagsbrun 提供了一个更快的缠绵措施，把 Elkies 能处理的数百万条，扩张到了数十万亿条。
此次更宽泛的搜索，从旧的弧线堆中发现了许多不寻常特点的弧线，但它们都莫得随心 28 秩的记录。两东说念主决定持续前进。
四年当年了。然后就到了几个月前，Elkies 和 Klagsbrun 在一次会议上再次相见，并启动交谈。
他们启动以不同的方法对 K3 曲面进行切片，得到了一个不错参谋的新弧线堆。但是，切片措施有好几百种，而大多数切片措施似乎都不太可能得到他们想要的弧线。
然后，他们全都未必地发现了一种切片措施，就像 Elkies 之前的那种措施一样，不错得到一个弧线堆，况且保证其中通盘弧线的秩都至少为 17。与其他措施比较，这种措施似乎更可能挖到宝。竟然，使用 Klagsbrun 更坚硬的缠绵时刻，他们在这个弧线堆中发现了一条秩至少为 29 的椭圆弧线。这条椭圆弧线具有迄今为止发现过的最复杂的有贯通集：需要至少 29 个零丁点才智形容其特征。
这条弧线的方程淌若写成 y² = x³ + Ax + B 的面容，则 A 和 B 的值都有 60 个数字那么长。Elkies 和 Klagsbrun 找到的 29 个零丁的有贯通波及的数相同遍及。
29 个零丁点的 x 轴坐标
收拢极限
关于椭圆弧线的秩是否有上限的问题，这个成果并未将其透顶处置。「现在咱们还是找到了这一条秩更高的弧线，那就有益义去但愿」存在具有恣意高的秩的弧线，Klagsbrun 说，「另一方面，老天，找到这一条就耗尽了多量功夫。很赫然想要找到更高秩的样本，还需要一些新念念路。」
不外淌若能将他和 Elkies 的致力于鼓动得迷漫远，也许能够扭转步地。他们需要找到一个无穷的弧线堆，保证其秩至少为 22（而不是 17，这是他们迄今为止所能作念到的最佳成果）。淌若存在这么一个堆，那就会与「秩存在有限上限」的已有最有劲凭证相矛盾。
非论何如，这条秩 29 弧线的发现都拓展了这个未知规模的界限。正如生物学家试图通过参餬口计在顶点环境中的生物来了解人命一样，通过绘画椭圆弧线宇宙的顶点旯旮，数学家也不错得到很大成绩。
https://www.quantamagazine.org/new-elliptic-curve-breaks-18-year-old-record-20241111/
https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;b9d018b1.2409&FT=&P=&H=&S=b裸舞 推特